lunes, 24 de enero de 2011

Mapeo Logístico

Una función cuadrática que se puede iterar indefinidamente se ha hecho famosa.

La expresión es:

[; x_{n+1} = r x_n (1 - x_n) ;]

Escogemos:

[; x_0 \in \[0,1\];]

Si además escogemos:

[; r \in \[0,4\];]

Entonces:



0 ;]" src="http://www.codecogs.com/gif.latex?%20x_n%20%5Cin%20%5C%5B0,1%5C%5D%20%5Cforall%20n%20%3E%200" title=" x_n \in \[0,1\] \forall n > 0 " style="display: inline; ">

Arriba a la derecha pueden ver para el caso [; r = 4 ;] al conjunto [;\{x_0,x_1,...\};] a veces en el eje de las ordenadas y a veces en el eje de las abscisas. La línea roja representa la situación [; x_{n+1} = x_n ;].

Ahora consideremos la primera iteración de la ecuación anterior:

[;x_{n+1} = 16 x_{n-1} (1- x_{n-1})(1-4x_{n-1}(1-x_{n-1}));]

Cuya gráfica se muestra a la derecha:

Si pasan la línea:

[;x_{n+1}=x_{n-1};]

Encuentran cuatro soluciones:

Si lo hacemos en general para r en su dominio,
encontramos:

[;\{0, \frac{-1 + r}{r},\frac{1 + r - \sqrt{-3 - 2 r + r^2}}{2 r},\frac{1 + r + \sqrt{-3 - 2 r + r^2}}{2 r}\};]

En el dominio de r, la única solución interesante es [; r = 3 ;] , que corresponde al caso de punto fijo [;x = \frac{2}{3};] , para cualquier r menor, el punto fijo se da en . Para r mayor que 3, las dos primeras raíces son inestables, y entonces las estables son las segundas dos, que se hacen inestables hasta que aparecen soluciones de periodo 4.

Toda esta riqueza de soluciones se puede apreciar en la siguiente gráfica.
Los interesados podemos platicar más en otra ocasión sobre esta gran complejidad obtenida por la iteración de una ecuación sencilla de segundo grado.

Las gráficas se hicieron en:

WolframAlpha

ahí pueden obtener archivos en formato PDF, gif, y otros, que se pueden poner en blogspot.com. Además con un plug-in adecuado, en un navegador como FireFox, pueden escribir sus ecuaciones en [;\LaTeX;]

Existe un Teorema muy importante. El Teorema de Sarkovski, "Periodo 3 Implica Todos los Periodos.".

Aquí pongo la gráfica obtenida con WolframAlpha.
Como pueden ver tenemos un periodo 3, según el Teorema de Sarkovski entonces, este sistema es caótico.

Podemos observar lo interesante del mapeo cuando [; r = 4 ;] de la siguiente manera.

Con el cambio de variable:

[; x = \sin^2 \theta ;] obtenemos:

[;x_{n+1} = 2^2 x_n ( 1- x_n) ;]

[; \sin^2 \theta_{n+1} = (2 \sin \theta_n)^2 ( 1 - \sin^2 \theta_n) ;]

Observamos que podemos escribir el lado derecho como:

[; \sin^2 \theta_{n+1} = \sin^2 2\theta_n ;]

O mejor aún:

[; \theta_{n+1} = 2 \theta_n ;] mod[; \pi ;]

La clave aquí está en mod [; \pi ;] . Sin esa restricción, el mapeo daría números cada vez mayores tendiendo al infinito y no pasaría nada interesante. Dividamos ambos lados entre [; \pi ;] y llamemos a la nueva variable [; y_n ;] , que obviamente estudiaremos mod 1.

[; y_{n+1} = 2 y_n ;] mod 1.

Finalmente expresemos [; y_n ;] en su representación binaria, es decir:

[; 0.a_1 a_2 \dots ;]

significa:

[; a_1 2^{-1} + a_2 2^{-2} + \dots ;]

Cualquier número menor que 1 se puede expresar así.

Por lo tanto si el valor inicial es la expresión anterior, debido a la operación mod 1, en el primer paso perdemos a [; a_1;] , en el segundo a [; a_2 ;] , y así sucesivamente. En la computación le llaman a este el mapeo del corrimiento, (shift), porque simplemente corremos los bígitos a la izquierda, y como la operación es mod 1, desaparecen del problema.
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