ECUACIÓN DE QUINTO GRADO

En matemática, se denomina ecuación quíntica o de quinto grado a una ecuación polinómica en que el exponente de la variable independiente de mayor grado es cinco. Es de la forma general:

donde a, b, c, d, e y f son miembros de un cuerpo (habitualmente el de los números racionales, el de los reales o los complejos), y .

Debido a que son de grado impar, la gráfica de las funciones quínticas normales se parece a la de las funciones cúbicas normales, excepto en que pueden poseer un máximo y un mínimo locales adicionales. La derivada de una función quíntica es una función cuártica.

Encontrar las raíces de un polinomio (valores de x que satisfacen tal ecuación) en el caso racional dados sus coeficientes ha sido un importante problema matemático.

La resolución de ecuaciones lineales, cuadráticas, cúbicas y cuárticas mediante factorización de raíces es bastante sencilla cuando las raíces son racionales o reales; también hay fórmulas que proporcionan las soluciones. Sin embargo, no hay una fórmula general en términos de raíces para las ecuaciones de quinto grado sobre los racionales; mediante un número finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y extracciones de raíces. Esto lo probó por primera vez el teorema de Abel-Ruffini, publicado en 1824, que fue una de las primeras aplicaciones de la teoría de grupos en el álgebra. Este resultado también se cumple para ecuaciones de mayor grado.

[editar]Factorización de radicales

Algunas ecuaciones de quinto grado se pueden resolver mediante factorización de radicales, como por ejemplo x⁵ − x⁴ − x + 1 = 0, que puede escribirse como (x² + 1)(x + 1)(x − 1)² = 0. Otras quínticas como x⁵ − x + 1 = 0 no pueden factorizarse de manera sencilla. Évariste Galois desarrolló técnicas para determinar si una ecuación dada podría ser resuelta mediante factorización, lo que dio pie al campo de la teoría de Galois. Usando esta teoría, John Stuart Glashan, George Paxton Young y Carl Runge mostraron en 1885 que cualquier quíntica resoluble irreducible en forma de Bring-Jerrard,

x⁵ + ax + b = 0

debe forzosamente tener la siguiente forma:

donde μ y ν son racionales. En 1994, Spearman y Williams dieron una alternativa,

con . Dado que haciendo un uso juicioso de las transformaciones de Tschirnhaus se puede convertir una quíntica a forma de Bring-Jerrard, esto da una condición necesaria y suficiente para que se pueda resolver mediante raíces. La relación entre las parametrizaciones de 1885 y 1994 puede verse definiendo la expresión

donde

y obtenemos la primera parametrización usando el caso negativo de la raíz cuadrada, mientras que el caso positivo nos da la segunda con ε = − 1. Por tanto esto es una condición necesaria (pero no suficiente) para que la quíntica resoluble irreducible

con coeficientes racionales debe satisfacer la curva cuadrática simple

siendo a e y racionales.