NHUMO@BEAUTIFUL: LA ECUACION DE TERCER GRADO!!!!

Una ecuación de tercer grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:

$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \,$ ,

donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a R o a C.

Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebraicamente cerrado, por lo tanto, el número de raíces reales no es siempre 3. Las que faltan se encuentran en C, extensión algebraica cerrada de R. La distinción aparece cuando se sacan las raíces cuadradas en el cálculo de U y V. Las raíces cúbicas no plantean problemas.

Se demuestra que el número de raíces reales depende del discriminante de la ecuación auxiliar $\Delta = (4p^3 + 27q^2)\,$ :

Si Δ > 0 existe una única raíz real. Las demás son complejas conjugadas.
Si Δ = 0 existe una raíz múltiple real: una raíz triple o una doble y otra simple, todas reales.
Si Δ <> existen tres raíces reales.

Habrán notado que siempre hay por lo menos una solución real. Es debido a que las funciones polinomiales no constantes tienen límites infinitos en +∞ y -∞ y las de grado impar tienen límites de signos contrarios. Como son funciones contínuas, tienen que pasar por cero, por el teorema de los valores intermedios.

En la figura siguiente se registra todos los casos, según los signos de a y de Δ.

Aunque lo más fácil es resolverla con el método Newton-Raphson ya que sabemos que al menos habrá una solución real.

EJEMPLO:

Sea $2t^3 + 6t^2 + 12t + 10 = 0 \,$ .

Sigamos los pasos descritos en el primer párrafo.

$t^3 + 3t^2 + 6t + 5 = 0 \,$ (al dividir por 2)
Con x = t + 1, es decir t = x - 1, reemplazando: $(x - 1)^3 + 3(x - 1)^2 + 6(x - 1) + 5 = 0 \,$ , y desarrollando: $x^3 + 3x + 1 = 0 \,$
x = u + v, U = u³, V = v³ y nos imponemos U + V = - 1 y UV = - 1. U y V son las raíces de X² + X - 1 = 0.

$U = \frac {-1 - \sqrt {5}} {2} \,$ y $V = \frac {-1 + \sqrt {5}} {2} \,$ , luego $u = \sqrt[3]{\frac {-1 - \sqrt {5}} {2}} \,$ y $v = \sqrt[3]{\frac {-1 + \sqrt {5}} {2}} \,$ .