NHUMO@BEAUTIFUL

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la integral de su derivada es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en este punto de la historia ambas ramas convergen, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

Intuición geométrica

El área rayada en rojo puede ser calculada como h × f(x), o si se conociera la función A(X), comoA(x+h) − A(x). Estos valores son aproximadamente iguales para valores pequeños de h.

Supóngase que se tiene una función continua y = f(x) y que su representación gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una función A(x) que representa el área bajo la curva entre 0 y x aún sin conocer su expresión.

Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre x y x+h. Se podría hacer hallando el área entre 0 y x+h y luego restando el área entre 0 y x. En resumen, el área de esta especie de "loncha" seríaA(x+h) − A(x).

Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar h por f(x) para hallar el área de un rectángulo que coincide aproximadamente con la "loncha". Nótese que la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de h.

Por lo tanto, se puede decir que A(x+h) − A(x) es aproximadamente igual a f(x) · h, y que la precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras palabras, ƒ(x)·h ≈ A(x+h) − A(x), convirtiéndose esta aproximación en igualdad cuando h tiende a 0 como límite.

Dividiendo los dos lados de la ecuación por h se obtiene

$f(x) \approx \frac{A(x+h)-A(x)}{h}.$

Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada A’(x) de la función A(x) y que el miembro izquierdo se queda en ƒ(x) al ya no estar h presente.

Se muestra entonces de manera informal que ƒ(x) = A’(x), es decir, que la derivada de la función de área A(x) es en realidad la función ƒ(x). Dicho de otra forma, la función de área A(x) es la antiderivada de la función original.

Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y "hallar el área" bajo su curva son operaciones "inversas", es decir el objetivo del teorema fundamental del cálculo integral.

[editar]Primer teorema fundamental del cálculo

Dada una función f integrable sobre el intervalo $[a, b]$ , definimos F sobre $[a, b]$ por $F(x) = {\int_{a}^x f(t)dt}$ . Si f es continua en $c \in (a,b)$ , entonces F esderivable en $c$ y F'(c) = f(c).

Consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es:

$\frac{d}{dx}{\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt}=f(b(x))b'(x) - f(a(x))a'(x)$

Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables

[editar]Demostración

[editar]Lema

Sea $f$ integrable sobre $[a, b]$ y

$m \leq f(x) \leq M \forall x \in [a,b]$

Entonces

$m(b-a) \leq {\int_a^b f(t)dt} \leq M(b-a)$

[editar]Demostración

Por definición se tiene que $F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} }$ .

Sea h>0. Entonces $F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt}$ .

Se define $m h$ y $M h$ como:

$m_h = \inf\{f(x)| c\leq x \leq c+h\}$ ,

$M_h = \sup\{f(x)| c\leq x \leq c+h\}$

Aplicando el 'lema' se observa que

$m_h \cdot h \leq {\int_c^{c+h} f(t)dt} \leq M_h \cdot h$ .

Por lo tanto,

$m_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq M_h$

Sea $h <>. Sean$

${m^*}_h = \inf \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \}$ ,

${M^*}_h = \sup \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \}$ .

Aplicando el 'lema' se observa que

${m^*}_h \cdot (-h) \leq {\int_{c+h}^c f(t)dt } \leq {M^*}_h \cdot (-h)$ .

Como

$F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt} = -{\int_{c+h}^{c} f(t)dt}$ ,

entonces,

${m^*}_h \cdot h \geq F(c+h)-F(c) \geq {M^*}_h \cdot h$ .

Puesto que $h <>, se tiene que$

${m^*}_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq {M^*}_h$ .

Y como $f$ es continua en c se tiene que

$\lim_{h \rightarrow 0} m_h = \lim_{h \rightarrow 0} M_h = \lim_{h \rightarrow 0} {m^*}_h = \lim_{h \rightarrow 0} {M^*}_h = f(c)$ ,

y esto lleva a que

$F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} } = f(c)$ .

ECUACIÓN DE QUINTO GRADO

En matemática, se denomina ecuación quíntica o de quinto grado a una ecuación polinómica en que el exponente de la variable independiente de mayor grado es cinco. Es de la forma general:

$ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0 \,\!$

donde a, b, c, d, e y f son miembros de un cuerpo (habitualmente el de los números racionales, el de los reales o los complejos), y $a \ne 0$ .

Debido a que son de grado impar, la gráfica de las funciones quínticas normales se parece a la de las funciones cúbicas normales, excepto en que pueden poseer un máximo y un mínimo locales adicionales. La derivada de una función quíntica es una función cuártica.

Encontrar las raíces de un polinomio (valores de x que satisfacen tal ecuación) en el caso racional dados sus coeficientes ha sido un importante problema matemático.

La resolución de ecuaciones lineales, cuadráticas, cúbicas y cuárticas mediante factorización de raíces es bastante sencilla cuando las raíces son racionales o reales; también hay fórmulas que proporcionan las soluciones. Sin embargo, no hay una fórmula general en términos de raíces para las ecuaciones de quinto grado sobre los racionales; mediante un número finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y extracciones de raíces. Esto lo probó por primera vez el teorema de Abel-Ruffini, publicado en 1824, que fue una de las primeras aplicaciones de la teoría de grupos en el álgebra. Este resultado también se cumple para ecuaciones de mayor grado.

[editar]Factorización de radicales

Algunas ecuaciones de quinto grado se pueden resolver mediante factorización de radicales, como por ejemplo x⁵ − x⁴ − x + 1 = 0, que puede escribirse como (x² + 1)(x + 1)(x − 1)² = 0. Otras quínticas como x⁵ − x + 1 = 0 no pueden factorizarse de manera sencilla. Évariste Galois desarrolló técnicas para determinar si una ecuación dada podría ser resuelta mediante factorización, lo que dio pie al campo de la teoría de Galois. Usando esta teoría, John Stuart Glashan, George Paxton Young y Carl Runge mostraron en 1885 que cualquier quíntica resoluble irreducible en forma de Bring-Jerrard,

$x 5 + a x + b = 0$

debe forzosamente tener la siguiente forma:

$x^5 + \frac{5\mu^4(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1}x + \frac{4\mu^5(2\nu + 1)(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1} = 0 \,\!$

donde $μ$ y $ν$ son racionales. En 1994, Spearman y Williams dieron una alternativa,

$x^5 + \frac{5e^4(3-4c\epsilon)}{c^2 + 1}x + \frac{-4e^5(11\epsilon+2c)}{c^2 + 1} = 0 \,\!$

con $\epsilon = +/-1 \,\!$ . Dado que haciendo un uso juicioso de las transformaciones de Tschirnhaus se puede convertir una quíntica a forma de Bring-Jerrard, esto da una condición necesaria y suficiente para que se pueda resolver mediante raíces. La relación entre las parametrizaciones de 1885 y 1994 puede verse definiendo la expresión

$b = \frac{4}{5} (a+20+2\sqrt{(20-a)(5+a)}) \,\!$

donde

$a = \frac{5(4v+3)}{v^2+1} \,\!$

y obtenemos la primera parametrización usando el caso negativo de la raíz cuadrada, mientras que el caso positivo nos da la segunda con $ε = - 1$ . Por tanto esto es una condición necesaria (pero no suficiente) para que la quíntica resoluble irreducible

$z^5 + a\mu^4z + b\mu^5 = 0 \,\!$

con coeficientes racionales debe satisfacer la curva cuadrática simple

$y^2 = (20-a)(5+a) \,\!$

siendo a e y racionales.

ECUACIÓN DE CUARTO GRADO

Una ecuación cuártica con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:

$ax^4 + bx^3 + {cx^2}^{} + dx + e = 0$

donde a, b, c, d y e (siendo $a \ne 0$ ) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a los reales $\mathbb{R}$ o los complejos $\mathbb{C}$ .

Caso general

Sea K un cuerpo, donde se pueden extraer raíces cuadradas y cúbicas (y por lo tanto también de cuarto orden, pues equivale a extraer raíces cuadradas dos veces seguidas). En este cuerpo, es posible factorizar por todo a, y la identidad siguiente es válida:

$(a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4 \,$ .

En un cuerpo algebraicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 4 tiene cuatro raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.

El método siguiente permite obtener las cuatro raíces al mismo tiempo, eso sí, después de un largo cálculo.

Los pasos de la resolución son:

Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a. Se obtiene:

$x^4 + b'x^3 + c'x^2 + d'x + e' = 0 \,$ , donde $b' = \frac {b} {a} \,$ , $c' = \frac {c} {a} \,$ , $d' = \frac {d} {a} \,$ y $e' = \frac {e} {a} \,$

Proceder al cambio de incógnita $z = x + \frac {b'} {4} \,$ , para suprimir el término cúbico. En efecto, al desarrollar $(z - \frac {b'} {4})^4$ con la identidad precedente, vemos aparecer el término $-b'z^3 \,$ , compensado exactamente por $b'z^3 \,$ que aparece en $b'(z - \frac {b'} {4})^3 \,$ . Tras sustituir x y operando con las identidades notables, se obtiene:

$z^4 + pz^2 + qz + r = 0 \,$ , con p, q y r números del cuerpo.

Y ahora, la idea genial: factorizar lo anterior en $(z^2 + \alpha z + \beta )( z^2 - \alpha z + \gamma) \,$ , lo que es posible porque no hay z³ en el polinomio.

Desarrollando la expresión e identificando los dos polinomios, obtenemos las condiciones:

$\beta + \gamma - \alpha^2 = p \,$ (coeficiente de x²)

$\alpha(\gamma - \beta) = q \,$ (coeficiente en x)

$\beta \gamma = r \,$ (término constante)

Después de algunos cálculos, hallamos : $\alpha^6 + 2p\alpha^4 + (p^2 - 4r)\alpha^2 - q^2 = 0 \,$ Es una ecuación del sexto grado, pero si miramos bien, α sólo aparece con potencias pares.

Pongamos $A = α 2$ . Entonces:

$A^3 + 2pA^2 + (p - 4r)A - q^2 = 0 \,$ , lo que se sabe resolver porque es una ecuación de tercer grado.

Luego se encuentra α, β y γ, y se resuelven $z^2 + \alpha z + \beta = 0 \,$ y $z^2 - \alpha z + \gamma = 0 \,$ , y para rematar, no se olvide que $x = z - \frac {b'} {4}$ .

miércoles, 26 de enero de 2011

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

Intuición geométrica

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